コーシーの平均値の定理を、f(x), g(x)にxを加えた3次元のグラフで理解する

機械学習の基礎として大学数学を学び直しています。

コーシーの平均値の定理は、平均値の定理（ラグランジュの平均値の定理）を拡張した定理です。ラグランジュの平均値の定理では f(x) と x に関する定理だったところ、x を新たに関数 g(x) と置いても良い、という内容だと理解しています。

この x を g(x) で置き換えることのイメージが出来るように、f(x), g(x), x の全てが登場する3次元のグラフを作成しました。

TL;DR

X軸をx, Y軸を f(x), Z軸を g(x) と読み替えてください。

灰色の直線が $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ に相当し、紫色の直線が $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ に相当します。

コーシーの平均値の定理は、私なりに言語化すると、「xの動きに従う関数f, gがあり、点aとbの間で滑らかな時、f(x)とg(x)による新たな関数は、点aとbの区間内に、線分abと平行な接線を持つ」となります。

作図で最も苦労したのが平行な接線、すなわち $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ です。

xの値cを求めるには傾きsが定まった状態で接線を求める必要があります。

しかし、作図に用いたdesmos 3Dでは、 $s = f'(c)$ （変数cが左辺にないため、求める対象にならないらしい）や $c = f'^{-1}(s)$ （逆関数はdesmos 3Dに定義されていなさそう）でcの値を求めることができませんでした。

※ $f^{'-1}$ は $f$ の導関数 $f'$ の逆関数を表す。

そこで、作図の対象を2次関数に限定することで、導関数の逆関数 $f'^{-1}$ を $x = \frac{y-b}{2a}$ の形に定め、cを求めるようにしています。

コーシーの平均値の定理をdesmosを用いて3次元のグラフで表しました。