さわらブログ

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コーシーの平均値の定理を、f(x), g(x)にxを加えた3次元のグラフで理解する

機械学習の基礎として大学数学を学び直しています。

コーシーの平均値の定理は、平均値の定理ラグランジュ平均値の定理)を拡張した定理です。ラグランジュ平均値の定理では f(x) と x に関する定理だったところ、x を 新たに関数 g(x) と置いても良い、という内容だと理解しています。

この x を g(x) で置き換えることのイメージが出来るように、f(x), g(x), x の全てが登場する3次元のグラフを作成しました。

TL;DR

コーシーの平均値の定理を、3次元グラフで理解する

X軸をx, Y軸を f(x), Z軸を g(x) と読み替えてください。

灰色の直線が  \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} に相当し、紫色の直線が  \frac{f'(c)}{g'(c)} に相当します。

www.desmos.com

解説

コーシーの平均値の定理は、私なりに言語化すると、「xの動きに従う関数f, gがあり、点aとbの間で滑らかな時、f(x)とg(x)による新たな関数は、点aとbの区間内に、線分ab平行な接線を持つ」となります。

作図で最も苦労したのが平行な接線、すなわち \frac{f'(c)}{g'(c)}です。

xの値cを求めるには傾きsが定まった状態で接線を求める必要があります。

しかし、作図に用いたdesmos 3Dでは、 s = f'(c)(変数cが左辺にないため、求める対象にならないらしい)や c = f'^{-1}(s)逆関数はdesmos 3Dに定義されていなさそう)でcの値を求めることができませんでした。
 f^{'-1} f導関数 f'逆関数を表す。
そこで、作図の対象を2次関数に限定することで、導関数逆関数 f'^{-1} x = \frac{y-b}{2a}の形に定め、cを求めるようにしています。

まとめ

コーシーの平均値の定理をdesmosを用いて3次元のグラフで表しました。

参考資料