ダランベールの収束判定法を、英訳とグラフで直感的に理解する

機械学習の基礎としての大学数学を学び直しています。

確率統計の分野で確率のモーメント母関数を求める基礎としてマクローリン展開が、さらにその基礎としてダランベールの収束判定法が必要となります。

マセマの微分積分は分かりやすいのですが、グラフを加えてさらに直感的に理解できるようにしました。

ダランベールの収束判定法

級数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ について、 $\lim_{n \rightarrow ∞}\frac{a_{N+1}}{a_n} = r$ のとき、

(i) $0 \leq r \lt 1$ なら $\sum_{n=1}^∞ a_n$ は収束し、

(ii) $1 \lt r$ なら $\sum_{n=1}^∞ a_n$ は発散する。

（ $1 = r$ なら、ダランベールの収束判定法では判定できない）

ダランベールの収束判定法を言葉で説明すると、級数の∞番目と∞+1番目の項との傾きを調べる、となります。

実はダランベールの収束判定法は、英語では単にRatio Testと呼ばれているようです。私はRatio Testの方が分かりやすいと思いました。

級数が収束する場合、発散する場合のそれぞれで、グラフの傾きを見てダランベールの収束判定法を直感的に理解したいと思います。

$\sum_{n=1}^\infty 2^n / n!$

のグラフでは、次の通りnが極限に近づくに伴って傾きが0に近づいています。

級数の小さくなり方が加速していく時、級数の和が収束する、と言い換えられそうですね。

$\sum_{n=1}^\infty P^n / n$

のグラフのPの値をアニメーションで変化させています。Pが1より小さければnは収束し、Pがより大きければnが発散します。

級数の大きくなり方の差の開き方が加速していくとき、級数の和が発散する、と言い換えられそうですね。

ダランベールの収束判定法では、級数の小さくなり方・大きくなり方の加速度合いを見て、級数の和が収束するか発散するかを見ていることが分かりました。